단일 연산자 EML로 모든 초등 함수 표현하기
목차
개요
야기엘로니아 대학의 Andrzej Odrzywołek이 흥미로운 논문을 공개했다. 핵심 주장은 단 하나의 이항 연산자와 상수 1만으로 표준 초등 함수 전체를 표현할 수 있다는 것이다. 이 연산자는 eml(x, y) = exp(x) − ln(y)로 정의되며, 사인·코사인·제곱근·로그 등 과학용 계산기의 36개 원시 함수 모두를 중첩된 eml 적용으로 환원할 수 있다. 저자는 구성적 증명과 함께 EML 컴파일러를 제공하고, 경사 기반 최적화를 활용한 기호 회귀 응용까지 탐구했다.
방법론
이 연구는 과학용 계산기의 36개 원시 함수를 점진적으로 축소하는 체계적 제거 실험에서 출발한다. 최종 단계에서는 단일 연산자 eml과 상수 1만 남는 EML 체계가 도출된다.
탐색 전략
단계별 환원 과정은 다음과 같다.
| 단계 | 구성 요소 | 원시 개수 |
|---|---|---|
| Calc 3 | exp, ln, 부정, 역수, 덧셈 | 6 |
| Calc 2 | exp, ln, 뺄셈 | 4 |
| Calc 1 | 거듭제곱, 로그, 상수 | 4 |
| Calc 0 | exp, 로그 | 3 |
| EML | eml(x,y)와 상수 1 | 3 |
문법은 극도로 단순하다. S → 1 ∣ eml(S, S) 형태의 이항 표현 트리만으로 모든 함수가 생성된다. 저자는 유일성은 증명하지 않았지만 관련 변형도 식별했다. 예를 들어 edl(x, y) = exp(x) / ln(y)는 상수 e와, −eml(y, x) = ln(x) − exp(y)는 상수 −∞와 짝을 이룬다.
수치 부트스트래핑 검증
대수적으로 독립인 초월 상수(Euler-Mascheroni, Glaisher-Kinkelin 등)를 변수 자리에 대입해 목표값을 수치 계산한다. 이후 역기호 계산기로 후보 공식을 역추적하는 방식으로 환원의 정확성을 검증했다.
주요 결과
저자는 Python 기반 EML 컴파일러를 제공하여 표준 공식을 순수 EML 형태로 변환한다. 또한 파라미터화된 EML 트리를 Adam 최적화기로 학습시키는 기호 회귀 실험도 수행했다.
복잡도 비교
RPN 코드 길이 기준 대표 함수의 복잡도는 다음과 같다.
| 함수 | EML 코드 길이 |
|---|---|
| exp(x) | 3 |
| ln(x) | 7 |
| 곱셈 | 깊이 8 |
| sin(x), cos(x) | 깊이 8 이상 |
| 항등 함수 x | 9 |
항등 함수조차 EML 체계에서는 비자명하게 표현된다는 점이 흥미롭다.
기호 회귀 성능
레벨 n 트리는 5 × 2ⁿ − 6개의 파라미터를 요구한다. 랜덤 초기화에서의 복구 성공률은 다음과 같이 깊이에 따라 급격히 감소한다.
| 트리 깊이 | 정확 복구율 |
|---|---|
| 2 | 100% |
| 3–4 | 약 25% |
| 5 | 1% 미만 |
| 6 | 0 / 448 시도 |
정답 근처에서 섭동을 가한 경우에는 깊이 5–6에서도 100% 수렴이 가능했다. 정확 복구 시 평균 제곱 오차는 약 10⁻³²로 기계 정밀도의 제곱 수준에 도달한다.
한계와 주의사항
실용적 활용에는 몇 가지 제약이 존재한다. 첫째, 삼각 함수 표현을 위해 내부 계산이 복소수 영역에서 이뤄져야 하며 ln(−1)의 분기 절단을 다뤄야 한다. 둘째, 영(0)과 정의역 경계의 엣지 케이스 처리, 무한대의 부동소수점 표현 등 구현 난제가 존재한다. Mathematica, NumPy, PyTorch, Lean 4 간에 동작이 달라지는 현상도 보고됐다. 셋째, 깊이가 5를 넘는 트리에서는 경사 기반 탐색이 급격히 어려워져 다단계 학습이 필요하다. 넷째, NAND 게이트와 달리 EML은 외부 상수(1, e, −∞)에 의존한다. 마지막으로 컴파일된 EML 식은 손으로 최적화한 공식보다 훨씬 길어진다.
결론
이 논문은 “단일 이항 연산자와 상수 1의 결합이 과학용 계산기의 표준 함수 집합을 생성한다”는 사실을 구성적으로 입증한다. 초등 함수가 기존의 인식보다 훨씬 단순한 클래스라는 점을 드러내는 결과다. 균일한 이항 구조는 아날로그 회로 구현과 데이터 기반 기호 발견 양쪽 모두에 가능성을 열어준다. 남은 과제로는 상수 의존성을 제거할 수 있는 삼항 변형 존재 여부, 일변수 보편 활성화 함수의 존재 가능성 등이 제시됐다.